30  Incomplete Randomized Block Design

30.1 Balanced incomplete block design (IBD)

\(K\) = Anzahl der Faktorstufen
\(B\) = Anzahl der Blöcke
\(k\) = Größe der Blöcke
\(r\) = Anzahl der Replikationen

Beim IBD \(k < K\).

IBD
B A1 A2 A3
I X X
II X X
III X X

30.1.1 Beispiel incomplete block design mit \(B=8,k=3,K=8,r=3\)

Beispiel IBD
Block
I 1 3 8
II 2 4 1
III 3 5 2
IV 4 6 3
V 5 7 4
VI 6 8 5
VII 7 1 6
VIII 8 2 7

30.1.2 Welche Paarvergleiche können geschätzt werden?

30.1.3 Balanced incomplete block design (BIBD)

\[\begin{align*} B &\geq K \\ Kr &= Bk \\ \lambda(K-1) &= r(k-1) \end{align*}\]

1

  • Alle paarweisen Vergleiche haben den gleichen Standardfehler
  • Power für die Detektion von Paarunterschieden ist für alle Paare gleich

30.1.4 Design erstellen mittels Optimierung

K <- 6
B <- 8 
k <- 3
bib_des <- AlgDesign::optBlock(~.,
                               withinData = factor(1:K),
                               blocksize = rep(k,B))

Alternativen: ibd, agricolae

Beispiel IBD, \(K=6,B=8,k=3\)
A B C D E F
I 1 1 1 0 0 0
II 1 0 0 0 1 1
III 0 1 1 0 1 0
IV 0 0 1 1 0 1
V 0 0 1 1 1 0
VI 1 1 0 0 0 1
VII 1 0 0 1 1 0
VIII 0 1 0 1 0 1

Modell

\[\begin{gather*} Y_{hi} = \mu + \theta_h + \tau_i + \epsilon_{hi} \\ \epsilon_{hi} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \\ h = i, \ldots, b; i = 1,\ldots,t; (h,i) \text{ in the design} \end{gather*}\]

Achtung - Treatmentmittelwerte sind biased

\[\begin{equation*} E[\tau_i - \tau_j] \neq \bar{Y}_{.i} - \bar{Y}_{.j} \end{equation*}\]

Beispiel der Vermischung von Block- und Treatmenteffekten, \(\Delta_{B-A}=2, \Delta_{C-A}=3, \Delta_{D-A}=5\)
A B C D \(\bar{Y}_{h.}\)
I 25.0 27 26.0
II 10.0 13.0 11.5
III 35 36.0 35.5
IV 10.0 12 11.0
\(\bar{Y}_{.i}\) 17.5 31 19.7 12 20.0

30.1.5 Beispiel IBD-Daten

Taste Experiment adaptiert nach Lawson (2015) von Moskowitz (1988). Werte sind scores zum Geschmack verschiedener Rezepte.
Person A B C D
1 5 5
2 7 6
3 5 4
4 6 7
5 6 4
6 8 6
7 6 7
8 5 8
9 4 5
10 7 7
11 6 5
12 7 4

Beispiel - Modellfit mit lm()

mod <- lm(score ~ id + recipe, data = taste)
anova(mod)
ANOVA der Geschmacksdaten
Term df SSQ MSQ F-Wert p-Wert
id 11 19.333 1.758 2.301 0.111
recipe 3 9.125 3.042 3.982 0.046
Residuals 9 6.875 0.764

Beispiel - Mehrfachvergleiche

emmeans::emmeans(mod, pairwise ~ recipe)
$emmeans
 recipe emmean    SE df lower.CL upper.CL
 A        5.46 0.418  9     4.51     6.40
 B        6.21 0.418  9     5.26     7.15
 C        6.83 0.418  9     5.89     7.78
 D        4.83 0.418  9     3.89     5.78

Results are averaged over the levels of: id 
Confidence level used: 0.95 

$contrasts
 contrast estimate    SE df t.ratio p.value
 A - B      -0.750 0.618  9  -1.214  0.6342
 A - C      -1.375 0.618  9  -2.225  0.1882
 A - D       0.625 0.618  9   1.011  0.7472
 B - C      -0.625 0.618  9  -1.011  0.7472
 B - D       1.375 0.618  9   2.225  0.1882
 C - D       2.000 0.618  9   3.236  0.0421

Results are averaged over the levels of: id 
P value adjustment: tukey method for comparing a family of 4 estimates

  1. \(\lambda\) = Anzahl der paarweisen Vergleiche der Stufen. Für alle gleich!↩︎